Regra simples para uso do hífen com prefixos de mais de uma sílaba

Até o Acordo Ortográfico que entrou em vigor em 2016, cada prefixo tinha suas regras quanto ao uso, ou não, do hífen em palavras que se formam com prefixo (como ARQUI, ANTI, SEMI, etc.). 

O Acordo Ortográfico unificou as regras, e agora o hífen só é usado antes de H e antes de palavra que comece com a mesma vogal do final do prefixo.

Por exemplo, ARQUI-INIMIGO tem hífen porque INIMIGO começa com I, mesma letra final de ARQUI.

E quando a palavra seguinte começa com R? 

Quando isso acontece, a união é SEM HÍFEN e o R é dobrado. O mesmo vale para o S. 

Exemplos: AUTORRETRATO, SEMIRRETA, ANTISSOCIAL... ARQUIRRIVAL se encaixa nesse caso, por isso se escreve com dois erres.

Resumindo: só usamos hífen com prefixos de mais de uma sílaba e  terminados em vogal, quando a palavra seguinte começa por H e vogal igual.

Exemplos: contra-ataque, sobre-erguer, anti-inflacionário, micro-ondas, anti-hemorrágico, mini-hospital, sobre-humano, arqui-inimigo...

Com as demais letras, devemos escrever tudo junto (sem hífen):

autocontrole, contraceptivo, contraindicação, infraestrutura, antissocial, antebraço, minissaia, televendas, arquirrival...